中3数学「三平方の定理 / ピタゴラスの定理」丸ごと全部先取り学習できるノート

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中3数学「三平方の定理」丸ごと全部先取り学習できるノート by かい

●:必須、○:予備知識

●はじめに

中3の数学の最後の単元がこの三平方の定理。

別名はピタゴラスの定理。

この単元さえ終われば過去問演習に入れるのに、なかなか学校の授業が進まないという人もいるだろう。

「三平方の定理」自体は非常に簡単なものなので、一読しただけで「三平方の定理」をマスターできるようにしておく。

活用していただければ幸いである。

●三平方の定理

直角三角形ABCにおいて、底辺BC=a、高さCA=b、斜辺AB=cとすると

a^2+b^2=c^2

が成り立つ。

また、その逆の主張も成り立ち

a^2+b^2=c^2

が成り立てば、三辺a , b , cをもつ三角形は直角三角形である。

具体的な図は一枚目の画像を参考にされたい。

定理の中身はこれだけである。

●例題

直角三角形ABC(ABが斜辺)において

①BC=3、CA=4のとき、ABの長さを求めよ。

(回答)

AB=xとすると、三平方の定理より

x^2=3^2+4^2=25

x=±5

xは長さだから、x=5

ABの長さは5

②BC=5、AB=13のとき、CAの長さを求めよ。

(回答)

CA=xとすると、三平方の定理より

5^2+x^2=13^2

25+x^2=169

x^2=144

x=±12

xは長さだから、x=12

CAの長さは12

○ピタゴラス数

(必須の内容ではないが、知っておくと便利な話)

例題では、直角三角形の全ての辺の長さが整数になったが、実はそうした3つの辺の長さの組み合わせは少ない。

無理数が出現することが多く、簡単な内容にも関わらず中3で習う理由がここにある。

ピタゴラス数とは、直角三角形の三辺の長さが全て整数になる3つの整数の組み合わせである。

3つの数のうち最も大きな数が斜辺の長さに相当し、残りの2つは底辺もしくは高さのいずれかとなる。

3 , 4 , 5

5 , 12 ,13

7 , 24 , 25

8 , 15 , 17

の組み合わせ、特に上二つは非常に有名で、問題で出現したときに、この組み合わせを覚えておけば計算の簡略化につながる。

また、相似な図形を学習していれば、各辺を等倍してもピタゴラス数として成立することに気付ける。

たとえば、3 , 4 , 5を2倍ずつすれば、6 , 8 , 10となり、これも直角三角形の三辺の長さとなる。

(問)

ピタゴラス数が直角三角形の三辺になり得るのか、三平方の定理に代入して確認せよ。

(回答例)

3^2+4^2=25

5^2=25

したがって、3^2+4^2=5^2となり、三平方の定理を満たすから、3 , 4 , 5を長さにもつ三角形は直角三角形である。

●三平方の定理と辺の比(暗記必須)

この内容で三平方の定理の単元は全て終了する。

読者は二種類の三角定規を持っていると思う。

直角二等辺三角形(90°、45°、45°)のものと、細長いほうの直角三角形(90°、60°、30°)のものの二つである。

この二つの直角三角形の辺の比が知られていて、それぞれ

・90°、45°、45°の直角二等辺三角形の辺の比

1:1:√2

・90°、60°、30°の直角三角形の辺の比

1:√3:2

具体的な図は二枚目の画像を参考にされたい。

この二つの直角三角形の辺の比は極めて重要で、頻出であるため必ず抑えておきたい。

(問)斜辺の長さが4である直角二等辺三角形の底辺と高さの長さを求めよ。

(回答例)

底辺の長さをxとする。

直角二等辺三角形の辺の比より

1:√2=x:4

√(2)x=4

x=4/√2

x=2√2

よって、底辺の長さは2√2で、直角二等辺三角形だから底辺と高さは等しいので、高さも2√2

おわりに

文章にすると長いが、中身の分量は中学数学の全単元の中でも非常に少ない。

その代わり、「使いどころ」が非常に多く、図形問題のみならず関数分野でも出てきたりするため、演習問題の数はこなしておきたい。

また、総合問題や過去問での使用頻度が非常に高いのが特徴である。

高校に進学すると、三平方の定理を前提にした拡張版定理(余弦定理)や、新しい考え方(三角比、三角関数)が登場したりと、今後嫌でもたくさん使うようになる。

中学数学において最重要単元と言っても差し支えないので、確実に自分のものにしておこう。

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